世界观察：终身致力于数学教育的美国数学家说，与现实脱节的数学课，对 99% 的学生都没有用

2022-10-18 16:02:10|

来源：外滩教育作者：

看点一直以来，数学都被认为是内容很难的课程，但在美国数学及其应用联合会 ( COMAP ) 创始人、首席执行官 Solomon Garfunkel 看来，这是因为我们误解了数学和数学教育。就数学教育而言，应该激发学生的学习兴趣，应该积极展现数学和生活的联系，以达到 " 学以致用 " 的目的。而当下数学课与学生的现实生活脱节，也阻碍了学生在数学上更深入的学习。为了改变这种情况，他创办了数学建模大赛，提供了一种改变数学课的思路。

(相关资料图)

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文丨张楠编丨 Luna

" 世界各地的数学课，都不同程度地与现实生活脱节，这才是数学课的危机所在。"美国数学及其应用联合会 ( COMAP ) 创始人、首席执行官 Solomon Garfunkel说。

为了改善这一问题，他一手创办了美国高中生数学建模竞赛（HiMCM）。从 1999 年创办至今，该赛事已成为历史最悠久的国际数学建模竞赛，也是国内国际化学校参与度最高的国际数学赛事之一。

作为一项竞赛，HiMCM 有许多独特之处：问题来源于实际生活，没有标准答案；赛程长达数周，学生可自由组队、借助网络资源；最终需要提交一篇论文等等。

也因此，这项赛事也在中国经历着 " 冰火两重天 "：一方面，不设门槛的做派让大量学生涌入，最高奖项多半也被中国学生承包；另一方面，因其在美国本土的影响力不如 AMC、IMO 等传统赛事，权威性、含金量也曾饱受质疑。

作为创始人，Sol 坦然接受这些变化，但他也强调，创办这项赛事，本身就不是为了筛选 " 数学天才 "，而是通过影响力，让人们意识到一场旷日持久的 " 数学危机 "，并最终实现改变学校的数学教育的目的。

全球数学教育

都不同程度与现实脱节

就 Sol 本身的经历来说，他最应该是拥抱纯粹数理研究、想寻找 " 数学天才 " 的那种人。

他打小就喜欢、擅长数学，24 岁时就获得了美国威斯康星大学麦迪逊分校的数学逻辑博士学位。

COMAP 创始人、首席执行官 Solomon Garfunkel

然而，当他成为一名数学教师，他才真正意识到数学教育当中的问题，许多数学专业的老师一腔热血地向学生介绍着 " 数学之美 "，而学生们的反应残忍又真实：啊？这跟我有什关系？

数学和数学教育，是两码事。只有不到 1% 的学生会真正进入数学领域，而数学教育，是要帮助其余那 99% 的人，学会将数学作为一种工具，运用在日常生活中，解决问题。

在 Sol 看来，于前者，美国的确地位超然，但后者几乎一塌糊涂。

" 对大学教授们来说，数学教育可能仅仅意味着，补充数学家这一物种的教育。"Sol 说。于是，从十年级开始，学数学的学生数量变化就以 " 年 " 为半衰期了。简单来说，11 年级学习数学课程的学生人数是 10 年级的一半，12 年级又是 11 年级的一半，直到研究生院。

这种课程思路，在 Sol 看来十分傲慢，好像在说 " 我们的课程是为有上进心、有天赋的学生设计的，其他人，与我们无关。" 这样下去，只会让数学也沦为一场 " 赢者通吃 " 的游戏。

即使在学术研究和数学的当代应用中，美国的地位仍然卓越，但 Sol 仍然表现得非常严厉，" 的确，美国诞生了许多顶尖人才，可是第一，还是不够多（全世界都是）；第二，谁又能说这归功于学校教育呢？"

Sol 还说了个坊间流传的笑话：当比尔 · 盖茨决定捐款时，他首先选择了他的高中数学老师。别人问他为什么，盖茨回答说，" 只有他能让我一个人清静会儿。"

" 您对美国的数学教育似乎一直很严苛？" 外滩君问。

" 当然！我花了一辈子的时间去修复它！"Sol 直截了当，这么多年，美国的数学教育仍然很难令他满意。

在 Sol 与布朗大学数学荣誉教授大卫 · 芒福德 ( DavidMumford ) 合作撰写的文章《如何修复我们的数学教育》 ( How to Fix Our mathematics Education ) 中，他们提到，数学教育中有非常多实用的内容，可以成为日后宝贵的人生经验，但在课堂上，这些却几乎都被跳过了。

比如，人们在很多情况下提到 " 指数级爆炸 ( exponentialexplosions ) "，像是国家债务、全球变暖、人口问题等等，它经常被误用。其实，它的意思就是某物以相同的倍数以固定的间隔增加。最简单的例子是储蓄账户 : 如果它每年给你 5% 的利息，你的余额每年将乘以 1.05。

可是数学课堂上是怎么教 " 指数函数 " 的呢？

首先，从指数函数的概念开始：理解一个函数从一个集合 ( 称为定义域 ) 到另一个集合 ( 称为值域 ) ，给定义域的每个元素恰好分配一个值域的元素。如果 f 是一个函数，x 是它定义域的一个元素，那么 f ( x ) 表示 f 对应于输入 x 的输出，曲线 F 是方程 y=f ( x ) 的图像。

学习和理解了这些抽象的符号后，开始练习，不同主题下如何处理函数，以及在建模中如何使用。最后的最后，只有一句话提到了指数与货币的相关性，" 为储蓄账户余额、菌落生长或投资增长建模 "。

"只有建立在真实的现实世界应用基础上，数学知识才会被吸收并纳入学生的工具包中。数学的抽象结构应该在后面出现，并且只有在它符合学生认知规律的基础上。"

这么显而易见的道理，在数学课堂上，却好像消失了。放眼全球，他们发现，世界各地的数学课，都在不同程度地与现实生活脱节。

学以致用

才是数学教育的首要目标

数学课程始终徘徊在抽象的概念周围，学生学习数学的目标只剩下通过考试，然后再接着学习下一门课程，最终目的就是打动大学招生官。

这样的数学教育，注定难以令人满意。于是，为了重新建立数学教育中断裂的一环，Sol 和一群志同道合的数学教授，共同创办了美国数学及其应用联合会（Consortium for Mathematics and ItsApplication, COMAP）。以此为平台，他们决定通过数学建模竞赛的形式唤起广大师生对于数学教育中" 学以致用 "的重视。

在 1985 年推出MCM（Mathematical Contest In Modeling, 美国大学生数学建模竞赛）、1999 年推出ICM（Interdisciplinary Contest In Modeling, 跨学科建模竞赛）后，COMAP 开始逐步将范围扩大到低龄人群。

1999 年，面向 9-12 年级高中生开设HiMCM（High School Mathematical Contest in Modeling, 美国高中数学建模竞赛），去年又增设了面向初中生的MiMCM ( Middle Mathematical Contest in Modeling ) 。

这一系列竞赛会给出 2-3 道来源实际生活场景的实际问题，参赛队伍任选其一回答即可。学生可在人数要求内自由组队，并配备一名指导老师，以同一学校 / 机构名义报名，用一定的数学模型解答后，形成一篇论文提交。论文内容包括问题的阐述分析、模型的假设和建立、计算结果和讨论。

放眼历年比赛真题，这些问题的开放程度，乍看甚至有些困惑，这是数学竞赛题吗？

铁人三项比赛怎样安排可以尽量减少交通堵塞和道路封闭？

怎样设计画廊的安全系统以保障一场艺术展览的安全性？

怎么优化家用储存太阳能的设备？

如何选择一份适合的暑期兼职？

Sol 说，之所以这么设计，还是出于那句话：学以致用，才是数学教育的首要目标。

第一，既然出发点是为了让 99% 乃至 100% 的学生和数学对话，那么就不能忽视来自他们生活中的问题，比如暑期兼职、宠物公园，哪怕听上去可能不那么 " 高级 "，但这是带他们进入数学世界不可省略的一步。

第二，要链接现实，让学生真的感受到数学之用。不是教育专家或老师们假想出来的情景，而是已经存在、发生的现实问题。比如，" 抗击埃博拉 "、" 寻找失联的马航 " 都曾作为大学生建模竞赛的题目出现。

第三，建模竞赛题目像是现实世界的一面镜子，因此组委会决定采用这种高度开放的形式，可以小组协作、赛前接受老师指导，也可以查找资料、运用各种工具，但产出方案得是个性化的、原创的。

同样出于鼓励的目的，在 HiMCM 几乎不设任何硬性门槛，所有完成论文并成功提交的队伍都至少能获得 " 成功参与奖（Successfulparticipant）"。依次往上，评委们综合考量后决出 H 奖（Honorable Mention，可理解为三等奖）、M 奖（Meritorious，对应二等奖）、F 奖（Finalist，对应一等奖）和 O 奖（Outstanding，亦作特等奖）。

2021 年 HiMCM 结果数据图源：COMAP 官网

开放性赛题，门槛虽低，难度仍然不小。根据 COMAP 官方数据，去年，共有来自 20 个国家 303 所学校的 705 支队伍参与了 HiMCM。最终，8 支队伍获得最高级别的 O 奖，在全部参赛队伍中仅占 1% 左右。

跳出盒子 or 打造盒子

到底哪个更难？

然而，在美国，HiMCM 的影响力还远未像传统数学竞赛 AMC 那样广泛，反而，中国学生的参与程度之高，在参赛人数和获奖情况两方面都远超其他国家，因而还在国内引起过对其权威性、含金量的质疑。

Sol 对前者有所预判，" 美国学生的学习动机不足，一直是个很大的问题，这可能和美国不是一个学历社会有关，但总而言之，你能明显感受到，他们好像就是不在乎，即使是参加建模竞赛的学生，也很 sloppy（粗心大意）。"

但中国学生却不同。Sol 明显感觉到，中国学生有很强的竞争意识，尤其在数学竞赛中。即使只是比其他人好一点，或者能让妈妈开心一点，他们也很愿意去付诸努力。

" 跟你说一个很有意思的例子。公布获奖结果时，我们是完全按照学生提交论文时的姓名顺序去制作获奖证书的。但只有中国学生，会给组委会写邮件，希望自己的名字顺序更靠前一点。"Sol 有点哭笑不得，可能在他看来，建模竞赛的初衷是让更多的学生在参赛过程中沉浸数学世界，而不在于奖赏哪几个学生。

对这位花了一辈子去试图改善美国数学教育的数学家来说，这种文化既让他意外，又让他有点羡慕。从建模竞赛这些年的赛况来看，中国学生正表现出越来越明显的潜力和提升。

根据 COMAP 的官方说法，他们的评判标准往往围绕着这样两点：一、创造性（think out of the box）；二、可行性。

大学生建模竞赛中有过这么一道题目：在既定的一些条件下，一架直升机需要搜寻追踪一艘船，参赛者的任即为直升机设计出一套最优方案。

当年的参赛队伍中，只有一组考虑到 " 船驶过会留下波纹 " 的问题。" 把这串波纹算进去，目标就变大了，搜寻的难度就降低了。"Sol 说，这组参赛选手其实都是高中生，但由于这一点，他们赢得了那年 MCM 的 O 奖。

Sol 坦言，早年间，中国学生还非常普遍地表现出一些特征：论文结构高度规范，而且很喜欢用一些看似复杂的模型，但实则在解决问题的维度上并不出新，另外，英文论文的写作也很生疏。

但现在，情况完全变了。

2014 年，上海平和双语学校第一次参加 HiMCM，当时还只有一支高中生队伍。近几年，参赛队伍越来越多，获奖情况也水涨船高。去年，平和不仅有两支队伍获得了 O 奖，还有一支获得 F 奖的队伍，同时获得了组委会特别设立的 NCTM Winner 奖。（注：NationalCouncil of Teachers of Mathematics, 美国数学教师协会）。

从那时就担任指导老师的张齐，是平和高中部数学组负责人。陪伴学生参赛的这些年，他也见证着教育变革中，学生们的进步与变化。

" 我们小时候学数学，很少有人听过‘数学建模’，更不要说培养建模思维、能力。但是这几年，在我们的课程标准中，数学建模的重要性正在越来越突出。" 张齐说。

世纪初还在强调 " 双基 "（基础知识、基本技能）的中国数学教育，在 2011 年版课标中就增加了基本思想和基本活动经验，在《普通高中数学课程标准 ( 2017 年版 ) 》中，数学建模已经作为六大要素之一，出现在高中数学核心素养中。

2019 年，IBDP 课程大纲改革，也重新将数学课程分成了" 数学：分析和方法 "和" 数学：应用和解释 "两个具体学科。

在平和，张齐正是负责教授 IBDP" 数学：应用和解释 " 的老师。每年动员学生们参加建模竞赛，他都是希望学生们 " 以赛代练 "，将准备竞赛的过程作为数学建模学习中的一个重要的练习环节。从 " 知 " 到 " 用 "，这本身就是学习中至关重要的一环。

这种氛围下，平和学生们在赛后最津津乐道的，也是参赛过程，而非结果。

" 对以后想继续学数学的学生来说，这是一次很好的科研启蒙；对数学不那么感兴趣的，可以用自己对生活的观察和思考，做一次课题探索；而团队协作，则让所有学生都能有所收获。" 张齐老师告诉外滩君，平和最早一批参加 HiMCM 的学生当中，有一个后来去美国攻读火箭工程的博士研究生学位。

或许正是因此，Sol 觉得，中国学生在 "跳出思维框架（think out of the box）" 上，表现得越来越好了。

可是，美国数学教育的那只 " 盒子 " 在哪里呢？共同核心数学标准 ( Common Core State Standards for Mathematics,CCSSM ) ，常被视为美国数学教育改革中颇具里程碑的一站，但实则在各州的实施情况，却千差万别。

2000 年，德国首次参加 PISA，数学和科学素养排名 20，阅读素养排名 21，远在 OECD 平均分之下。这一结果令德国教育体制深受打击，在社会各界引起 "PISA 震惊 "。

" 先不提上海在 PISA 中的表现，就连德国都已经通过一系列改革，在 PISA 中实现了巨大进步。"Sol 无奈表示，" 而美国呢？好像完全不在乎的样子，直到现在，美国仍然低于 OECD 平均水平。"

通过建模竞赛这面 " 镜子 "，Sol 感受到，课堂脱离现实的这场数学危机下，各个国家需要面临的具体挑战和有效的应对措施，却是不同的。