焦点日报：资深数学教师徐雅：总把分数当成孩子学习唯一指标，小心埋下“高分低能”的隐患
看点 从考试成绩来看，中国孩子的数学好是好，但学习过程却也真 " 苦 "。这和教学法不无关系。为此，业内常有人把英美普遍流行的讨论式教学，与中国普遍存在的教导式教学做对比。前者能否解决学数学 " 苦 " 的难题？资深数学教师徐雅老师指出，在以考试为主要评估方式的情况下，苦学是不可避免的；而好的教学法并非是二选一，而是将二者相融合，重在激发数学兴趣，提高逻辑推理能力。
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文丨 Luna 编丨 Jennifer
(资料图)
数学难学。
但是，从考试成绩来看，中国学生好像学得挺好。2018 年 PISA 考试，北上苏浙学生的数学平均分高达 591 分，位列第一，且超全球平均分 100 多分。
但是，PISA 的统计显示，北上苏浙四地学生每周学习 57 小时左右，平均每天学习 8 个多小时，学习强度大大高于其他国家。
可见，中国学生的高分与学生的 " 苦读 " 有关。看看当下普遍存在的对学习意义的迷茫与学习数学兴趣的低迷心态，在为学生的优秀成绩骄傲之余，又不禁有些担心。
" 苦读 " 是一种学习方式。学习方式与教学方式有关。业内常有人把在英美普遍存在的讨论式教学方法与中国普遍存在的教导式教学做对比。人们看到前者在维护学生数学学习兴趣方面似乎有很大的优势。
那么，讨论式教学方法，会不会成为孩子解决学数学 " 苦 " 的一个解决方案呢？围绕着这个问题，我们采访了在英国和美国都有丰富的数学教育经验的徐雅老师。
徐雅在北京大学完成本科学习 , 拥有剑桥大学数学教育学硕士学位和牛津大学数学教学证书，持有英国政府及美国马里兰州颁发的教学执照。自 2005 年起，她长期在英国和美国中学担任一线数学教师并担任教师指导工作，同时多次为英美大型及国际数学考试判卷。
目前 , 徐雅为选修教育学专业的大学生教授数学。在 2022 年马里兰数学教师学会举办的优秀教师评选（2022 MCTM Teacher Rewards）活动中，她担任评委。
徐雅
对于 " 讨论式教学方法能不能解决孩子学数学‘苦’ " 这个问题，她给出了这样的答案——在以考试为主要评估方式的情况下，苦学是不可避免的，但这并不意味着要把成绩作为唯一的目标是对的。讨论式教学和讲授式教学也不是二选一的选择题，而是需要合理结合。
说到底，学习数学重在激发孩子们对数学的兴趣与热爱，实质在于提高他们的逻辑推理能力。
当学习内容和心智发展不匹配，
学数学就变成了背书
虽然许多数学老师都提到过，家长不应该给孩子灌输 " 数学学不好是天生 " 这个观点，但是徐雅认为，我们也不应该忽略一个事实，那就是数学作为一门十分考验抽象逻辑的科目，它本身确实很有难度。
她从数学内容的特点和教学与认知的关系两方面回答了这个问题。
1. 数学是一门 " 越学离生活越远 " 的学科
徐雅认为，虽然列在数学教学大纲中的内容都是普通人通过努力可以达到的，但是，这不等于可以忽略数学是一门有关逻辑推理和抽象能力培养的科目这一事实。所以，" 无论各国的数学教学大纲有怎样的差异，有一点是相同的，那就是从小学到高中，数学教学内容都经历了一个从具象到抽象的升级转变。"
也就是说，" 数学的内容都会从小学的与生活很贴近的、实用性很强的算术开始，从常见的形状和简单统计开始，逐渐上升到高中那些以抽象推理和证明为主的代数、几何，甚至向量、微积分、概率这些比较难懂的概念上来。"
所以，" 数学学习走了一条‘越学，离现实生活越来越远’的道路。"而且，她特别提到，" 中国的数学大纲在众多国家中属于内容较深，要求较严的。这也给中国孩子提出了更高的要求。"
拿中国 2022 版《义务教育小学数学课程标准》和其他国家的数学大纲做比较，就能发现一些例子：
在比较数字大小时，新课标要求 1-2 年级会比较万以内的数的大小；加拿大安大略省 2020 版数学大纲到 4 年级才要求会比较万以内的数的大小。
有关反比例函数的学习，新课标要求 7-9 年级能画出反比例函数的图像，能用反比例函数解决简单实际问题；而英国 2013 年版的 Key Stage 3 ( Year 7-9，对应中国的 6-8 年级 ) 数学大纲中仅要求学生可以根据给出的反比例函数图像求近似解。
2. 学习内容和认知发展水平的冲突，是数学 " 难学 " 的根本原因
徐雅提到，" 根据瑞士儿童心理学家皮亚杰的认知发展理论，儿童的认知发展经历了四个阶段：感知阶段、前理性思维阶段、具象理性思维阶段和理性思维阶段。"
0～2 岁（感知阶段 Sensorimotor） 的孩子主要靠亲身体验来学习。" 比如说什么是烫，把手伸在火上感觉一下就知道什么是烫。这个时候如果想让孩子通过烫的概念和定义来理解它，就是对牛弹琴 "。
2～7 岁（前理性思维阶段 Pre-operational） 的孩子喜欢通过游戏和拟人化的想象的方式来学习。" 这个阶段的孩子有两个学习特点：
一是不愿意把注意力放在自己不喜欢的事情上。对于一些比较抽象的东西，他们无法拟人化，不能理解，就不喜欢。那么学起来就很抵触；
二是易受成年人的引导。奖罚在这个阶段很有效。比如家长说‘你给我背一个公式，我就带你去看电影’，或者，老师说，‘好孩子都会背那个公式’，那么，孩子即使不懂公式的含意，在家长和老师的激励下，多数也会去背。
小学阶段的学生处于7～11 岁（具象理性思维阶段 Concrete operational）。这个时段，逻辑思维开始发展了。
一方面，孩子们会给东西分类，比如能够按照颜色分别摆放衣服；另一方面，开始理解数量的概念。涉及到时间、距离、速度的追及问题，对 7 岁以前的孩子很难，因为那时他们难以理解什么叫速度，只会看谁先到终点；而大部分 7-11 岁的孩子不仅能够理解了速度，还可以预测谁先到终点。
但是，抽象思维的发展要到 11 岁以后。
11-16 岁（理性思维阶段 Formal operational） 差不多是初中阶段。" 这时，孩子的抽象思维开始发展，这个发展过程从低到高可以一直延续到成年。这也是为什么初中数学开始引入代数等抽象的数学概念。不过，皮亚杰提到，并不是所有人的抽象思维都能够发展到较高的程度。"
对照这四个阶段，我们不难理解，" 如果教学的内容或者教学方法不能与学生们的认知特点相匹配，那么，学习数学就会变成一个又枯燥又痛苦的学科。"
如果把小学的课堂弄得像单位开会一样，这就与他们喜欢做游戏的天性相违背。或者是让抽象思维还没形成的小学的孩子提前学代数，结果恐怕只能靠记忆力来满足家长和老师的要求了。
" 这样做，开发的不是孩子的数学能力，而是在锻炼他们记忆力。"
讨论式教学注重综合能力，
但也并非万能灵药
既然数学 " 难学 " 的根源在于学习内容和认知发展水平不匹配，那么英美数学课上常见的讨论式教学，是不是一定比教导式教学好呢？
徐雅认为，讨论式教学和讲授式教学不是二选一的抉择，而是需要合理结合。孩子们需要的始终都是适合他们的教育方法。
1. 讨论式教学是一个 " 重过程 " 而不是 " 结果 " 的教学方法
" 讨论式教学的渊源可以一直追溯到古希腊苏格拉底的‘助产术’式提问教育 , 即通过不断追问对方语言中的逻辑漏洞，迫使对方不断反思自己的结论，从而达到精准思维和表达的能力。" 这也是审辨式思维（critical thinking）的由来。
比如，在学习数字和加法后，老师可能设计这样一个讨论："2+3" 和 "5 条竖线 " 是不是代表一个意思？为什么？
徐雅说：" 这个问题简单到每个同学都可以参与，同时它的答案又是多样的。"
认为 " 是一个意思 " 的同学可能说：如果把竖线当成数量 5 的一个表达方式，而 2+3 的和是 5，那么，两者说的是一个意思。
认为两者不尽相同的同学可能说：2+3 是一个运算表达式，而 5 条竖线则是一种计数方式。所以，只有当竖线这样表达 "||+ |||" 时，两者才可能是一个意思。
认为两者根本不是一个意思的同学可能说：五条竖线是一个图案，与数字无关。
……同学们就他们的观点可以展开讨论。同意或不同意都要说出原由。"
" 讨论中，答案不重要，重要的是通过讨论学生们会对‘等号’的意义（等号两边的量相等）、运算表达式、人类计数的方法史等等有一个更深的理解。重要的是通过讨论，学生学会多元、多角度地思考问题；学会通过互动，不断地精准自己的思维；学会运用适当而的语言来表达自己的观点、同意或反对对方的观点；学会与别人合作。"
总之，讨论式教学是个注重过程的教学，它追求的效果是综合的。
作为老师，徐雅也深切地感受到，" 学生的发言可以让她准确地了解到学生的对知识的掌握情况。" 同时，学生观点也经常给她带来 " 意想不到的启发和惊喜。"
她告诉外滩君，" 这样从小养成讨论和互助的习惯，到了高中和大学，课堂内外同学间的讨论和合作，（注意，不是互相抄袭）已经成了英美校园一件自然而然的事。"
它也是教师教学评估的重要一环。在刚刚结束的马里兰优秀数学教师评选活动中，作为评委的徐雅观察到，所有参选老师提交的教学样本都有课堂讨论的环节。
" 目前最大的问题是，尚没有一个衡量讨论式教学成果的有效方法。也就是说，标准考试很难考出学生的数感、逻辑抽象和表达能力。它也很难检验出一个人其他的重要素质，例如批判性思维能力、创新思维能力和合作能力。而这些恰恰是讨论式教学追求的目标。"
2. 合理结合讨论式和教导式才是好的教学
当然，在英美从教多年，徐雅对于讨论式教学的风险也很清楚。
" 首先，讨论式教学不能替代教导教学。讨论式教学在提高学生运用知识点的熟练程度上效果不显著。如果熟练程度不够，考试时就会影响做题速度甚至准确率。"
教导式教学（甚至应试教学）占据中国课堂的主流。" 它在夯实基础知识、考试中取得高分方面有优势。" 除了前面提到的 PISA 考试结果以外，BBC 制作过的一个纪录片 《中国老师来了》， 也可以证明这一点。其中中国老师教的学生在期末考试中取得了比英国老师教的学生的分数高。
BBC 纪录片 《中国老师来了》
根据自己的教学经历，徐雅在去年一个教育国际研讨会，第二届汇融中西教育论坛，上给出这样的估计：" 英美课堂大约有25%的时间用在学生进行讨论，加上其他课堂管理用去的时间，留给老师讲课和做练习的时间不到课堂时间的70%。而在中国，这个字可以达到95%。"
这样一来，如果有三个数学知识相仿的学生，一个送到美国继续上学，一个送到英国继续上学，一个送到中国继续上学，一年下来，那个送到美国的学生在应试数学上的仅时间相当于那个送到中国的学生的74%；那个送到英国的学生相当于送到中国的学生的78%。
或者说，一年过后，在中国的学生比在英国的学生多出了3 个月的学习数学知识和课堂练习时间，比在美国的学生多出了4 个月的学习数学知识和课堂练习时间。
" 再加上英美用在课后练习的时间少，所以，英美学生对基础知识的掌握不如中国学生。" 其实，" 英美学生在近乎‘裸考’的情况下，即使热爱数学，其考试成绩恐怕也不会达到与其同等数学水平的中国学生。"
另外，" 一个好的讨论课往往需要老师要在选题、提问、甚至分组、分工、评价方式等方面花很多精力。如果设计得不好，往往起不到预期得效果，有时，还有流为‘聊天课’的风险，白白浪费了宝贵的课堂时间。"
在徐雅看来 , " 这二种教学方法不存在孰对孰错的问题，孩子们需要的是它们二者之间合理的结合。"
不单以成绩为学习目标，
可以为孩子学数学 " 解压 "
这里所谓的苦读，是指一种长时间地把精力放在掌握知识概念、熟练考试技巧的学习方法。或说，是一种 " 时间投入法 "。
一方面，徐雅承认，" 苦读的学生基础知识比较扎实。在标准考试中取得高分的概率大。"
" 在以考试为主要评估方式、升学竞争压力比较大的情况下，苦读恐怕是难免的。因为它们是取得高分的最有效途径。"
但徐雅同时指出，" 如果用力过猛，从长远看，把分数作为主要目标的教学和学习方式，会损害孩子的数学学习和发展。"
英美的学生之所以普遍不苦读，一方面与文化、社会因素有关，另一方面与升学压力较小有关。
徐雅举了几个有意思的例子。
课堂上，答不上问题或答错问题的学生很少受到批评。" 面对答不上问题的学生，我经常的做法是，让她 / 他请一个同学替她 / 他回答，如果对了，她 / 他必需重复一遍答案。如果有学生做错了，那恰好给大家一个讨论的机会。"
课堂就是一个通过纠正各种错误来学习知识的地方。" 如果没有错误，那我们就不知道哪里应该改进。在我的课上，没有人鄙视回答问题或演板出错的同学，反而，大家会感谢他们 , 是他们的错误给大家提供了一个认识错误、纠正错误的机会。"
老师也经常通过给学生提供选择的机会来提高他们的学习兴趣。比如一道题的作业量，可以给出两道题，让孩子选做一道。有了 " 选择权 "，学生的自主感会提高。" 如果他们为了做选择而把两道题都思考一遍的话，那就再好不过了。"
接受不同的表达也是英美教学的一个特点。" 我们在改卷子的时候，老师会在学生写的一大片东西里去找她 / 他的思路。比如一道题的标准答案是 1/2，那么写 0.5，或者 50% 都算对，有的甚至画一个圆，一半涂上阴影，都可以算对，因为这个叫 area model。这样的结果是每个学生可以充分发挥自己的特点，但另一方面，很少看见让老师赏心悦目的东亚学生那种清晰整齐的卷面和规范的书写。"
在升学方面，英美大学采用申请制，不以考试分数为唯一录取标准，这就使得英美学生不必把所有的精力放在考试上。英美的数学试题，如 SAT，GCSE 等，往往会把相关公式印在在卷首。目的是考察学生的推理运用，而不要求学生去记忆这些公式。但这在中国考生看来，这是不可思议的。
以上种种，都是英美学生不必那么苦读的例子。是优是劣，见仁见智。
如果说教学大纲、考试政策和要求等不是家长能够控制的，那么，家长仍然可以在一定程度上为苦读 " 解压 "。
徐雅建议，在生活中要多为孩子提供练习数学的机会，增加孩子的数感和对数学的兴趣。
例如，小学学习加减法的时候，家长可以在购物时，暂时放下便利的手机支付，让孩子自己算总价，再算算手里拿的钱付款，该找多少钱，让数学真正运用到实际生活中。
学代数和统计以后，不妨让孩子运用学到的函数知识和统计知识估算、预测一下家里的每月或每年的用电量、存款利息等。" 有了兴趣，能力强了，学习就不那么‘苦’了。"
另外，家长可以多和孩子分享自己学习数学的经验，尤其是失败的经历。让孩子知道，他们遇到的困难，别人也经常遇到，所以没有什么需要自卑的。
" 家长特别要分享解决问题的经验——怎么问老师，怎么向同学求教，怎么利用互联网寻找自己需要的知识，等等。让孩子有解决困难的信心和方法。"
无论在任何情况下，徐雅强调，" 在敦促孩子们苦读数学的时候，有两个原则必须坚持——一是不损害孩子对数学的兴趣，二是保护孩子的自尊心。"
" 要看到，任何考试的成绩都只能代表孩子在过去某一时点的状态。老师和家长都要把目光放远。园子里的每一种花都有它自己开放的时间表。考试的时候没‘开’的那朵花，不代表将来不开、更不代表那不是一株美丽的花。"
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